Matteguiden 1T

Øveprøve kapittel 6 — oversikt

Grunnleggende

Kapittel 6 · Modellering — øveprøve
Tid: ca.

90

min

Del 1 — uten hjelpemidler (oppgave

1

–

4

): lineær og eksponentiell modell, toppunkt, gjenkjenne modelltype.

Del 2 — med hjelpemidler (oppgave

5

–

10

): lineær, eksponentiell, potens- og andregradsregresjon, avkjøling, vurdering av modeller og et sammensatt modelleringsproblem.

Vis mellomregning, og kommenter hvor godt modellene passer.

Hint og løsning vises når du leverer i prøvemodus.

Oppgave 1 — Lineær modell — mobilabonnement

Grunnleggende

Del 1 · uten hjelpemidler

Et mobilabonnement koster

150

kr per måned pluss

20

kr per GB data.

a)

Lag en modell

K(x)

for prisen når du bruker

x

GB.

b)

Hvor mange GB har du brukt hvis regningen er

330

kr?

Hint og løsning vises når du leverer i prøvemodus.

Oppgave 2 — Eksponentiell modell — rente

Grunnleggende

Del 1 · uten hjelpemidler

Du setter

8000

kr i banken med

5\,\%

rente per år.

a)

Skriv en modell for beløpet etter

x

år.

b)

Regn ut beløpet etter

2

år uten kalkulator.

Hint og løsning vises når du leverer i prøvemodus.

Oppgave 3 — Toppunkt — størst overskudd

Grunnleggende

Del 1 · uten hjelpemidler

Overskuddet (i tusen kroner) ved å produsere

x

enheter er

O(x)=-2x^2+80x-500

.

a)

Hvor mange enheter gir størst overskudd?

b)

Hvor stort er det største overskuddet?

Hint og løsning vises når du leverer i prøvemodus.

Oppgave 4 — Gjenkjenne modelltype

Øving

Del 1 · uten hjelpemidler

Hvilken modelltype passer best til hver tabell? Begrunn og finn modellen.

a)

x

:

0

,

1

,

2

,

3

og

y

:

5

,

8

,

11

,

14

b)

x

:

0

,

1

,

2

,

3

og

y

:

5

,

10

,

20

,

40

Hint og løsning vises når du leverer i prøvemodus.

Oppgave 5 — Lineær regresjon — regntønne

Øving

Punktdiagram: liter vann

y

i tønna etter

x

dager.

Del 2 · med hjelpemidler

Tabellen viser hvor mange liter vann

y

som var igjen i en regntønne

x

dager etter siste regnvær (tenkte data).

Datatabell: $x$ og $y$
$x$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$
$y$	$31$	$27$	$24$	$19$	$16$

a)

Finn en lineær modell ved regresjon.

b)

Når er tønna tom ifølge modellen?

c)

Hvorfor kan det være rimelig å bruke en lineær modell her?

Hint og løsning vises når du leverer i prøvemodus.

Oppgave 6 — Avkjølingsmodell — kake

Øving

Del 2 · med hjelpemidler

En kake tas ut av ovnen. Temperaturen etter

t

minutter er

T(t)=22+148\cdot 0{,}95^t

.

a)

Hva er temperaturen etter

20

minutter?

b)

Kaken kan skjæres når den er under

40\,^\circ

C. Når skjer det?

c)

Hva er romtemperaturen? Begrunn.

Hint og løsning vises når du leverer i prøvemodus.

Oppgave 7 — Lineær eller eksponentiell modell — bakterier

Øving

Punktdiagram: antall bakterier

N

etter

x

timer.

Del 2 · med hjelpemidler

Tabellen viser antallet bakterier

N

i en kultur

x

timer etter start (tenkte data, samme som i oppgave 6.10).

Datatabell: $x$ (timer) og $N$
$x$ (timer)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$N$	$500$	$640$	$830$	$1050$	$1370$	$1750$

a)

Finn både en lineær og en eksponentiell modell ved regresjon.

b)

Sammenlign den lineære og den eksponentielle modellen. Hvilken passer best?

c)

Gi én grunn til at den eksponentielle modellen ikke kan gjelde i mange døgn.

Hint og løsning vises når du leverer i prøvemodus.

Oppgave 8 — Potensregresjon — stålkuler

Utfordring

Punktdiagram: masse

m

for kuler med radius

r

.

Del 2 · med hjelpemidler

Massen

m

(gram) til massive stålkuler med radius

r

(cm) ble målt.

Datatabell: $r$ (cm) og $m$ (g)
$r$ (cm)	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$m$ (g)	$4{,}2$	$33{,}5$	$113$	$268$	$524$

a)

Finn en potensmodell

m(r)=a\cdot r^b

ved regresjon (RegPot).

b)

Hva sier modellen om massen til en kule med radius

6

cm?

c)

Hvor stor radius har en kule med masse

1

kg?

d)

Forklar hvorfor eksponenten blir omtrent

3

.

Hint og løsning vises når du leverer i prøvemodus.

Oppgave 9 — Andregradsregresjon — ballkast

Utfordring

Punktdiagram: høyden

h

til ballen etter

t

sekunder.

Del 2 · med hjelpemidler

En ball kastes på skrå. Høyden

h

(meter) etter

t

sekunder ble målt fra en video.

Datatabell: $t$ (s) og $h$ (m)
$t$ (s)	$0$	$0{,}5$	$1$	$1{,}5$	$2$	$2{,}5$
$h$ (m)	$1{,}8$	$6{,}9$	$9{,}6$	$9{,}9$	$7{,}8$	$3{,}3$

a)

Finn en andregradsmodell ved regresjon (RegPoly grad

2

).

b)

Når er ballen høyest, og hvor høyt er den da?

c)

Når treffer ballen bakken? Angi et gyldighetsområde for modellen.

Hint og løsning vises når du leverer i prøvemodus.

Oppgave 10 — Sammensatt modellering — overskudd

Utfordring

Del 2 · med hjelpemidler

En liten bedrift lager

x

lamper per måned. Kostnadene er

K(x)=0{,}5x^2+20x+800

kroner, og hver lampe selges for

100

kr.

a)

Vis at overskuddet er

O(x)=-0{,}5x^2+80x-800

.

b)

Hvor mange lamper gir størst overskudd, og hvor stort er det?

c)

Hvor mange lamper må bedriften lage for å gå med overskudd?

d)

Hvorfor er det urimelig å bruke modellen for svært store

x

?

Hint og løsning vises når du leverer i prøvemodus.