Kap. 1Kap. 2Kap. 3Kap. 4Kap. 5Kap. 6Kap. 7

Kapittel 4: Funksjoner · 4G Vekstfart

0 av 10 merket ferdig

Ny i temaet? Én kort forklaring — så kan du øve.

Gjennomsnittlig vekstfart
Hva må jeg kunne?

Byggeklosser

Vekstfart

Fra gjennomsnittlig stigning til momentan vekstfart — definisjonen av f'(x).

4BStigningstall2APolynomregning
Vekstfart

Oppgave 4.44

Grunnleggende
Forklar begrepene: Gjennomsnittlig vekstfart, momentan vekstfart og hvordan de regnes ut.

Oppgave 4.45

Grunnleggende
x y 2 4 0 2 6 sekant [0,2] sekant [2,4] tangent i x = 2 (0,2) (2,6) (4,2)
Parabelen f(x)=−x2+4x+2f(x)=-x^2+4x+2 med sekanter på [0,2][0,2] og [2,4][2,4], samt tangent i x=2x=2.
Gitt funksjonen f(x)=−x2+4x+2f(x) = -x^2 + 4x + 2.
a)
Finn gjennomsnittsfarten i intervallene [0,2][0, 2] og [2,4][2, 4].
b)
Finn tangenten i punktet (2,f(2))(2, f(2)). Hva er den momentane vekstfarten når x=2x=2?
c)
Finn den momentane vekstfarten når x=3x=3.
d)
Finn den momentane vekstfarten når x=0x=0.

Oppgave 4.46

Grunnleggende
En graf har en tangent i punktet (20,300)(20, 300) som har stigningstall 1515. Vi får i tillegg oppgitt at f(40)=500f(40) = 500.
a)
Hva er den momentane vekstfarten når x=20x=20? Finn likningen for tangenten.
b)
Bruk tangenten til å anslå f(22)f(22).
c)
Finn gjennomsnittsfarten i intervallet [20,40][20, 40].
d)
Gjennomsnittsfarten i c) er mindre enn den momentane vekstfarten i x=20x = 20. Hva sier det om grafen mellom x=20x = 20 og x=40x = 40?

Oppgave 4.47

Grunnleggende
246810121416182020406080100120140160180200220 t (min) T (°C)T
Grafen til T(t)=200−180⋅0,92tT(t) = 200 - 180 \cdot 0{,}92^t for 0≤t≤200 \le t \le 20. Den grå linja er T=200T = 200.
Temperaturen i en industriovn er gitt ved T(t)=200−180⋅0,92tT(t) = 200 - 180 \cdot 0{,}92^t for DT=[0,20]D_T = [0, 20], der TT er temperaturen i ∘C^{\circ}\text{C} og tt er tiden i minutter. Grafen vises under.
a)
Finn gjennomsnittsfarten i intervallet [0,10][0, 10].
b)
Bruk et digitalt verktøy til å finne momentan vekstfart når t=5t=5, t=10t=10 og t=15t=15. Hva forteller svarene deg?

Oppgave 4.48

Øving
x y −2 2 0
Grafen til f(x)=0,25x3−2xf(x)=0{,}25x^3-2x i intervallet [−4,4][-4, 4].
Gitt funksjonen f(x)=0,25x3−2xf(x) = 0{,}25x^3 - 2x.
a)
Skisser grafen i intervallet [−4,4][-4, 4].
b)
Tegn inn tangenter for x=−2x=-2 og x=2x=2 og finn stigningstallene grafisk.
c)
Kontroller svaret i b) ved å regne ut gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [1,9,2,1][1{,}9, 2{,}1].
d)
Når er momentan vekstfart lik 00? Bruk grafen eller et digitalt verktøy.
e)
Anslå momentan vekstfart i x=0x = 0 ved å bruke intervallet [−0,1,0,1][-0{,}1, 0{,}1].

Oppgave 4.49

Øving
Skisser en andregradsfunksjon der momentan vekstfart er −4-4 i x=1x=1, og der gjennomsnittsfarten i intervallet [1,5][1, 5] er 00.

Ekstraøving 1

EkstraØving
Gitt f(x)=x2+1f(x)=x^2+1.
a)
Finn gjennomsnittlig vekstfart på [1,3][1,3].
b)
Finn gjennomsnittlig vekstfart på [1;1,1][1;1{,}1].
c)
Bruk b) til å anslå den momentane vekstfarten i x=1x=1.

Ekstraøving 2

EkstraUtfordring
Temperaturen TT (°C) ble målt hver annen time:

tt (timer): 00, 22, 44, 66
TT: 55, 99, 1515, 1717
a)
Finn gjennomsnittlig vekstfart i hvert av de tre intervallene.
b)
Når steg temperaturen raskest?
c)
Finn gjennomsnittlig vekstfart fra t=0t=0 til t=6t=6.

Ekstraøving 3

EkstraUtfordring
En ball kastes rett opp. Høyden er h(t)=20t−5t2h(t)=20t-5t^2 meter etter tt sekunder.
a)
Finn gjennomsnittlig vekstfart på [0,2][0,2] og tolk svaret.
b)
Finn gjennomsnittlig vekstfart på [1,9; 2,1][1{,}9;\,2{,}1].
c)
Hva forteller b) om ballen når t=2t=2?

Ekstraøving 4

EkstraUtfordring
Du setter 50005000 kr i banken med 4 %4\,\% rente per år: B(t)=5000⋅1,04tB(t)=5000\cdot 1{,}04^t.
a)
Finn gjennomsnittlig vekstfart de fem første årene.
b)
Finn gjennomsnittlig vekstfart fra år 1010 til år 1515.
c)
Forklar forskjellen.
Forrige delkapittelNeste delkapittel