Kap. 1Kap. 2Kap. 3Kap. 4Kap. 5Kap. 6Kap. 7

Kapittel 2: Algebra og mønstre · 2F Formler og figurtall

0 av 9 merket ferdig

Ny i temaet? 3 korte forklaringer — start med den første.

Formler for figurtall
Hva må jeg kunne?

Byggeklosser

Formler og figurtall

Beskriv et mønster med en formel i n. Bokstavregning og potenser gjør formelen enkel.

2ABokstavregning1DPotenser
Formler og figurtall

Oppgave 2.15 (Formelregning)

Grunnleggende
2h h
Rettvinklet trekant med grunnlinje 2h2h og høyde hh.
I en rettvinklet trekant er arealet AA. Grunnlinjen er dobbelt så lang som høyden hh.
a)
Sett opp en formel for AA uttrykt ved hh.
b)
Gjør om formelen slik at hh står alene på den ene siden av likhetstegnet.

Oppgave 2.16 (Sekskanttall)

Grunnleggende
De fire første sentrerte sekskanttalleneFire prikkfigurer. C1 er én prikk. C2 er en prikk med en sekskant rundt. C3 og C4 får én ny sekskant-ring for hver figur, slik at hver ring har 6 flere prikker enn den forrige. Prikkene skal telles i oppgaven.C1C2C3C4
De fire første sentrerte sekskanttallene C1C_1, C2C_2, C3C_3 og C4C_4.
Figuren viser de fire første sentrerte sekskanttallene, C1,C2,C3C_1, C_2, C_3 og C4C_4.
a)
Finn det femte sentrerte sekskanttallet, C5C_5.
b)
En formel er Cn=3n2−3n+1C_n = 3n^2 - 3n + 1. Vis at formelen stemmer for de fire første.
c)
Bruk formelen til å bestemme sentrert sekskanttall nummer 1010.

Ekstraøving 1

EkstraGrunnleggende
Kvadrat med side s og rektangel med sider s + 2 og s − 1Til venstre et kvadrat med side s. Til høyre et rektangel som er 2 lenger og 1 lavere enn kvadratet: sidene er s pluss 2 og s minus 1. kvadrat s s rektangel s + 2 s − 1
Kvadrat med side ss og rektangel med sider s+2s+2 og s−1s-1.
Et kvadrat har side ss. Et rektangel har sider s+2s+2 og s−1s-1.
a)
Finn et uttrykk for differansen mellom rektangelets og kvadratets areal.
b)
For hvilken ss er arealene like store?

Ekstraøving 2

EkstraØving
T₁T₂T₃T₄
Trekanttall TnT_n: rad nn har nn prikker, og Tn=1+2+…+nT_n=1+2+\ldots+n.
Figuren viser T1T_1 til T4T_4.
a)
Tell opp og finn T5T_5 og T6T_6.
b)
Formelen er Tn=n(n+1)2T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}. Vis at den stemmer for n=4n=4.
c)
Finn T10T_{10}.
d)
Vis at Tn+Tn−1=n2T_n+T_{n-1}=n^2 for n≥2n\ge 2 (to trekanter gir et kvadrat).
e)
Løs Tn=66T_n=66 for nn.

Ekstraøving 3

EkstraØving
Kvadrat med side s og rektangel med sider s + 3 og sTil venstre et kvadrat med side s. Ved siden av et rektangel med samme høyde s og bredde s pluss 3. kvadrat s s rektangel s + 3 s
Kvadrat med side ss og rektangel med sider ss og s+3s+3.
Et kvadrat har side ss. Ved siden av ligger et rektangel med samme høyde og 33 lenger bredde.
a)
Uttrykk for kvadratets areal.
b)
Uttrykk for rektangelets areal.
c)
Hvor mye større er rektangelet, forenklet?
d)
For hvilken ss er rektangelets areal dobbelt så stort som kvadratets?
e)
Finn summen av omkretsen til kvadratet og omkretsen til rektangelet, hver figur for seg. Forenkle.

Ekstraøving 4

EkstraØving
n=1n=2n=3n=4
Figur nn er en trekant av nn rader med kvadrater — antall = TnT_n.
Et mønster av kvadrater: figur nn består av en rad med nn kvadrater, så n−1n-1 oppå, og så videre ned til 11 (altså trekant av kvadrater).
a)
Hvor mange kvadrater har figur 11, 22 og 33?
b)
Finn en formel for antall kvadrater i figur nn.
c)
Hvor mange kvadrater i figur 88?
d)
Hvilken figur har 5555 kvadrater?
e)
Om hvert kvadrat har side 11, hva er omkretsen av figur nn? (Hint: tenk ytterkant, ikke 44 ganger antall.)

Ekstraøving 5

EkstraUtfordring
Figur 3
Figur 3 i det L-formede mønsteret (et kvadrat der ett hjørne mangler).
Et L-formet mønster: figur nn er et kvadrat med side n+1n+1 der et lite hjørnekvadrat med side 11 er kuttet vekk.
a)
Tegn (i hodet eller på kladdeark) figur 11, 22 og 33. Hvor mange enhetskvadrater har de?
b)
Finn en formel for antall enhetskvadrater i figur nn.
c)
Hvor mange i figur 1010?
d)
Hvilken figur har 8080 enhetskvadrater?
e)
Omkretsen av L-en (ytterkant) for figur nn: argumenter for at den er 4n+44n+4.

Ekstraøving 6

EkstraUtfordring
Prikkmønster for figur 1 og figur 2Figur 1 har 1 rad med plass til 3 prikker, figur 2 har 2 rader med plass til 4 prikker. I begge figurene mangler de to hjørneprikkene i øverste rad; de er vist som røde, stiplede ringer med kryss. Figur 1 Figur 2 = hjørneprikk som mangler
Prikkmønster for figur 1 og figur 2. De to hjørneprikkene i øverste rad mangler.
Prikkmønster: figur nn har nn rader med n+2n+2 prikker i hver rad, men de to hjørneprikkene i øverste rad mangler.
a)
Skriv et uttrykk for antall prikker, og forenkle.
b)
Finn antall i figur 11 og 22 ved både telling og formel.
c)
For hvilken nn er det 6161 prikker?
d)
Vis at antall prikker er et partall når nn er et partall, og et oddetall når nn er et oddetall.
e)
En annen elev skriver n(n+2)n(n+2). Hva har eleven glemt?

Ekstraøving 7

EkstraUtfordring
L-mønsteret for n = 1, 2 og 3Tre prikkfigurer. Figur n er et kvadrat med n pluss 1 prikker på hver side der prikken i øvre høyre hjørne mangler (vist som stiplet ring). Prikkene skal telles i oppgaven.n = 1n = 2n = 3
L-mønsteret fra oppgave 2.57 for n=1n=1, 22 og 33.
Python og figurtall. I L-mønsteret i oppgave 2.57 har figur nn i alt n2+2nn^2+2n prikker.

n = 1
while n**2 + 2*n <= 200:
n = n + 1
print(n, n**2 + 2*n)
a)
Lag en tabell for hånd over antall prikker for n=1,2,3,4,5n=1, 2, 3, 4, 5.
b)
Hva er det programmet leter etter?
c)
Hva skriver programmet ut? Kontroller med regning.
d)
Vis at n2+2n=(n+1)2−1n^2+2n=(n+1)^2-1. Bruk dette til å forklare svaret i c) uten å prøve deg fram.
Forrige delkapittelNeste delkapittel