Ressurser

Fagbibliotek med tallmengder, brøkregning, kvadratrøtter, programmering og temavideoer.

Fagbibliotek: Tallmengder

Tallmengdene forteller hvilken type tall vi snakker om. Trykk på et kort for å hoppe til temaet.

1

Oversikt

Mengdene ligger inni hverandre. Hvert nytt skall tar med flere tall:

N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

⊂\subset betyr «er en delmengde av». Alle naturlige tall er hele tall, alle hele tall er rasjonale, og alle rasjonale tall er reelle.

ℕ naturlige 1, 2, 3, … ℤ hele tall …, −1, 0 ℚ rasjonale ½, −¾ 0,333… ℝ reelle √2, π (irrasjonale)
Hvert skall utvider mengden. Irrasjonale tall ligger i R\mathbb{R}, men utenfor Q\mathbb{Q}.
Husk: N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}. Det motsatte er usant: R⊄Q\mathbb{R} \not\subset \mathbb{Q}.
2

Naturlige tall N\mathbb{N}

De naturlige tallene er tellingstallene — positive heltall:

N={1,2,3,4,…}\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}
00 er ikke med i N\mathbb{N} slik vi bruker det i 1T.
  • Eksempler: 11, 1717, 16=4\sqrt{16}=4
  • Ikke med: 00, −3-3, 12\dfrac{1}{2}
Null? Noen bøker tar med 00 i N\mathbb{N}. I 1T bruker vi N={1,2,3,…}\mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots\}. Når 00 skal være med, skriver vi N0={0,1,2,…}\mathbb{N}_0 = \{0,1,2,\ldots\}.
3

Hele tall Z\mathbb{Z}

Hele tall tar med null og de negative:

Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}
Hele tallinja av prikker — men fortsatt bare heltall, ikke brøker.
N⊂Z\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}: alle naturlige tall er hele tall, men −5∈Z-5 \in \mathbb{Z} og −5∉N-5 \notin \mathbb{N}.
4

Rasjonale tall Q\mathbb{Q}

Et tall er rasjonalt hvis det kan skrives som brøk av to heltall:

Q={ab∣a∈Z, b∈Z, b≠0}\mathbb{Q} = \left\{\dfrac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z},\ b \in \mathbb{Z},\ b \neq 0\right\}
Slik kjenner du dem igjen
  • Alle heltall: −5=−51-5 = \dfrac{-5}{1}
  • Vanlige brøker: 34\dfrac{3}{4}, −12-\dfrac{1}{2}
  • Endelige desimaler: 4,2=2154{,}2 = \dfrac{21}{5}
  • Uendelige periodiske desimaler: 0,333…=130{,}333\ldots = \dfrac{1}{3}
Fra 1A: −5-5, 16=4\sqrt{16}=4, 34\dfrac{3}{4} og 0,333…0{,}333\ldots er rasjonale. π\pi og 7\sqrt{7} er det ikke.
Fallgruve: 3,143{,}14 er rasjonalt, men det er ikke π\pi. 227\dfrac{22}{7} er en tilnærming til π\pi, ikke π\pi selv.
5

Irrasjonale tall

Irrasjonale tall kan ikke skrives som brøk ab\dfrac{a}{b} av to heltall. Desimalutviklingen er uendelig og uten periode.

0,3‾=13∈Q0{,}\overline{3} = \dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}
≠
π∉Q\pi \notin \mathbb{Q}
  • Klassikere: π\pi, ee, 2\sqrt{2}, 7\sqrt{7}
  • n\sqrt{n} er irrasjonal når nn ikke er et perfekt kvadrat
  • 16=4\sqrt{16}=4 er rasjonal (og til og med naturlig)
Irrasjonale tall = alle reelle tall som ikke er rasjonale: R∖Q\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}.
6

Reelle tall R\mathbb{R}

De reelle tallene er hele tallinja — rasjonale og irrasjonale samlet.

R=Q∪{irrasjonale tall}\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \{\text{irrasjonale tall}\}
Alle disse punktene ligger i R\mathbb{R}.
Utenfor R\mathbb{R} finnes blant annet komplekse tall C\mathbb{C}. Det tar vi ikke i 1T.
7

Element i og ikke element i

Vi bruker ∈\in og ∉\notin for å si om et tall ligger i en mengde.

SymbolLesesBetydning
a∈Aa \in A«aa er element i AA»aa tilhører mengden AA
a∉Aa \notin A«aa er ikke element i AA»aa tilhører ikke AA
4,2∈Q4{,}2 \in \mathbb{Q} fordi 4,2=2154{,}2 = \dfrac{21}{5}
−3∉N-3 \notin \mathbb{N} fordi −3-3 ikke er et positivt heltall
2∈R\sqrt{2} \in \mathbb{R} og 2∉Q\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}
Mengdekrøll og vilkår

Krøllparenteser { }\{\ \} lister opp elementene, eller beskriver dem med en regel:

  • {2,4,6,8}\{2, 4, 6, 8\} — partall under 1010
  • {x∈N∣x<10}\{x \in \mathbb{N} \mid x \lt 10\} — alle naturlige tall mindre enn 1010
Ikke bland: ∈\in er for elementer (5∈N5 \in \mathbb{N}). ⊂\subset er for mengder (N⊂Z\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}).
8

Intervaller

Et intervall er alle reelle tall mellom to grenser. Parentesen forteller om endepunktet er med eller ikke.

NotasjonUlikhetEndepunkt
[a,b][a, b]a≤x≤ba \le x \le bbegge med
⟨a,b⟩\langle a, b \rangle eller (a,b)(a, b)a<x<ba \lt x \lt bingen med
[a,b⟩[a, b\rangle eller [a,b)[a, b)a≤x<ba \le x \lt bbare aa med
⟨a,b]\langle a, b] eller (a,b](a, b]a<x≤ba \lt x \le bbare bb med

I 1T brukes ofte vinkelparentes ⟨ ⟩\langle\ \rangle for åpen ende. Vanlig parentes ( )(\ ) betyr det samme.

−2 0 4 8 [−2, 8⟩
Fylt prikk = inkludert. Åpen prikk = ikke inkludert. −2≤x<8-2 \le x \lt 8.
−2≤x<8-2 \le x \lt 8 skrives x∈[−2,8⟩x \in [-2, 8\rangle.
Snitt og union
  • A∩BA \cap B — tall som ligger i begge
  • A∪BA \cup B — tall som ligger i minst én av dem
[0,4]∩(2,6)=(2,4][0, 4] \cap (2, 6) = (2, 4]
Et intervall er ikke det samme som en liste av heltall. [−3,5, 2,1][-3{,}5,\ 2{,}1] inneholder uendelig mange reelle tall, men bare heltallene −3,−2,−1,0,1,2-3,-2,-1,0,1,2.
9

Absoluttverdi ∣x∣|x|

∣x∣|x| er avstanden fra xx til 00 på tallinja. Avstand er aldri negativ.

∣x∣=x|x| = x når x≥0x \ge 0, og ∣x∣=−x|x| = -x når x<0x \lt 0.

∣−7∣=7|-7| = 7 og ∣7∣=7|7| = 7. Samme avstand til origo.
Likninger med absoluttverdi

∣x∣=a|x| = a (når a>0a \gt 0) har to løsninger: x=ax = a eller x=−ax = -a.

∣x−c∣=r|x - c| = r betyr «avstand fra cc er rr»:

∣x−2∣=5|x - 2| = 5 gir x=7x = 7 eller x=−3x = -3.
Regn først inni, deretter absoluttverdi: ∣3−8∣=∣−5∣=5|3-8| = |-5| = 5.
✓

Hurtigsjekkliste

Hvilken mengde?
  1. Heltall og positivt (ikke 00)? → N\mathbb{N}
  2. Heltall (også 00 eller negativt)? → Z\mathbb{Z}
  3. Kan skrives som brøk a/ba/b? → Q\mathbb{Q}
  4. På tallinja, men ikke brøk? → irrasjonal, likevel i R\mathbb{R}
Tallℕℤℚℝ
44✓✓✓✓
00✗✓✓✓
−3-3✗✓✓✓
34\frac{3}{4}✗✗✓✓
16\sqrt{16}✓✓✓✓
2\sqrt{2}✗✗✗✓
π\pi✗✗✗✓
Før prøven: 16=4∈N\sqrt{16}=4 \in \mathbb{N}. 3,14≠π3{,}14 \neq \pi. 0∉N0 \notin \mathbb{N}. ∈\in for tall, ⊂\subset for mengder. Fylt prikk = med i intervallet.